Khai triển Taylor là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, giúp xấp xỉ hàm số bằng một đa thức. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập khai triển Taylor, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn nắm vững phương pháp này.
Tìm Hiểu Về Khai Triển Taylor
Khai triển Taylor của một hàm số khả vi vô hạn lần tại một điểm cho phép ta biểu diễn hàm số đó dưới dạng một chuỗi vô hạn các số hạng, mỗi số hạng là một đạo hàm của hàm số tại điểm đó. Việc này đặc biệt hữu ích khi ta cần tính giá trị xấp xỉ của hàm số tại các điểm gần điểm đã cho. 
Công thức khai triển Taylor
Công Thức Khai Triển Taylor
Công thức tổng quát cho khai triển Taylor của hàm số f(x) tại điểm x = a là:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...Trong đó:
- f(a), f'(a), f”(a),… là các đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm a.
- n! là giai thừa của n.
giải bài tập khai triển taylor maclaurin
Bài Tập Khai Triển Taylor Có Lời Giải Cụ Thể
Chúng ta sẽ cùng xem xét một số Bài Tập Khai Triển Taylor Có Lời Giải chi tiết để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức.
Bài Tập 1: Khai triển Taylor của hàm số e^x tại x = 0
Hãy khai triển Taylor của hàm số e^x tại x = 0 đến bậc 4.
Lời giải:
Ta có f(x) = e^x. Các đạo hàm của f(x) tại x = 0 là: f(0) = 1, f'(0) = 1, f”(0) = 1, f”'(0) = 1, f””(0) = 1. Áp dụng công thức khai triển Taylor, ta được:
e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!Bài Tập 2: Khai Triển Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0
Hãy khai triển Taylor của hàm số sin(x) tại x = 0 đến bậc 5.
Lời giải:
Tương tự, ta tính các đạo hàm của sin(x) tại x = 0: f(0) = 0, f'(0) = 1, f”(0) = 0, f”'(0) = -1, f””(0) = 0, f””'(0) = 1. Vậy khai triển Taylor của sin(x) tại x = 0 đến bậc 5 là:
sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5!Bài Tập 3: Ứng Dụng Khai Triển Taylor Trong Tính Giới Hạn
Khai triển Taylor cũng có thể được sử dụng để tính giới hạn. Ví dụ, hãy tính lim(x->0) (sin(x) – x)/x^3.
Lời giải:
Sử dụng khai triển Taylor của sin(x) tại x = 0, ta có:
sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - ...Do đó,
(sin(x) - x)/x^3 ≈ (-x^3/3! + x^5/5! - ...)/x^3 = -1/6 + x^2/120 - ...Khi x tiến tới 0, giới hạn sẽ là -1/6.
giải bài 9 trang 9 sgk giải tích 12
Kết Luận
Bài viết này đã cung cấp lời giải chi tiết cho các bài tập khai triển Taylor, từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khai triển Taylor và ứng dụng của nó trong giải tích.
FAQ
- Khai triển Taylor là gì?
- Công thức khai triển Taylor như thế nào?
- Khai triển Maclaurin là gì?
- Làm thế nào để áp dụng khai triển Taylor để tính giới hạn?
- Ứng dụng của khai triển Taylor trong thực tế là gì?
- Khai triển Taylor có thể áp dụng cho tất cả các hàm số không?
- Độ chính xác của khai triển Taylor phụ thuộc vào yếu tố nào?
Mô tả các tình huống thường gặp câu hỏi.
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác định bậc của khai triển Taylor cần thiết để đạt được độ chính xác mong muốn, cũng như trong việc tính toán các đạo hàm cấp cao.
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web.
Bạn có thể tìm hiểu thêm về cách giải bài tập tính lim cách giải bài tập tính lim và giải bài 55 sgk toán 11 đại số trang 177 trên BaDaoVl.
