Hàm lồi là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong tối ưu hóa và giải tích lồi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan về hàm lồi, kèm theo các Bài Tập Hàm Lồi Có Lời Giải chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả.
Định Nghĩa và Tính Chất của Hàm Lồi
Hàm lồi được định nghĩa là một hàm số có đồ thị nằm dưới đoạn thẳng nối bất kỳ hai điểm nào trên đồ thị. Tính chất này có thể được biểu diễn bằng bất đẳng thức Jensen. Việc xác định một hàm có lồi hay không đóng vai trò quan trọng trong việc tìm kiếm điểm cực tiểu của hàm số đó, bởi vì điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi cũng chính là điểm cực tiểu toàn cục.
Một số tính chất quan trọng của hàm lồi bao gồm:
- Tính liên tục: Hàm lồi liên tục trên miền mở của nó.
- Tính khả vi: Hàm lồi khả vi hầu khắp nơi trên miền mở của nó.
- Đạo hàm: Đạo hàm của hàm lồi là hàm không giảm.
Bài Tập Hàm Lồi Cơ Bản Có Lời Giải
Dưới đây là một số bài tập hàm lồi cơ bản có lời giải chi tiết, giúp bạn làm quen với khái niệm và các tính chất của hàm lồi.
Bài tập 1: Chứng minh rằng hàm số f(x) = x² là hàm lồi.
Lời giải: Ta cần chứng minh f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y) với mọi x, y và t ∈ [0, 1]. Thay f(x) = x², ta có: (tx + (1-t)y)² ≤ tx² + (1-t)y². Khai triển và rút gọn, ta được t(1-t)(x-y)² ≥ 0, điều này luôn đúng với mọi x, y và t ∈ [0, 1]. Vậy f(x) = x² là hàm lồi.
Bài tập 2: Xác định xem hàm số f(x) = |x| có phải là hàm lồi hay không.
Lời giải: Hàm số f(x) = |x| là hàm lồi. Bạn có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác: |tx + (1-t)y| ≤ t|x| + (1-t)|y|.
Bài Tập Hàm Lồi Nâng Cao Có Lời Giải
Sau khi nắm vững các bài tập cơ bản, hãy cùng thử sức với một số bài tập nâng cao hơn. giải bài tập toán lớp 4 trang 135
Bài tập 3: Cho f(x) = xlogx, x > 0. Chứng minh f(x) là hàm lồi.
Lời giải: Đạo hàm bậc hai của f(x) là f”(x) = 1/x > 0 với mọi x > 0. Vì đạo hàm bậc hai dương, nên f(x) là hàm lồi. giải bài tập 4 trang 85 sgk sinh 11
Bài tập 4: Cho hai hàm lồi f(x) và g(x). Chứng minh rằng hàm h(x) = max{f(x), g(x)} cũng là hàm lồi.
Lời giải: Sử dụng tính chất max{a, b} = (a + b + |a – b|)/2 và tính chất |a| là hàm lồi. Ta có max{f(tx+(1-t)y),g(tx+(1-t)y)} ≤ t max{f(x),g(x)} + (1-t) max{f(y),g(y)}. Vậy h(x) là hàm lồi. bài tập phương trình mũ logarit không có lời giải
Kết luận
Bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan về “bài tập hàm lồi có lời giải”, từ định nghĩa, tính chất đến các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về hàm lồi và áp dụng vào việc giải quyết các bài toán thực tế. bài tập điện tử thông tin có lời giải giải bài 37 sbt toán 8 trang 92
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Email: Contact@badaovl.us, địa chỉ: Tòa nhà Etown Central, 11 Đoàn Văn Bơ, Quận 4, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam.. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.
