Không gian vecto con là một khái niệm quan trọng trong Đại số tuyến tính. Nắm vững kiến thức về không gian vecto con là nền tảng để giải quyết nhiều bài tập phức tạp. Bài viết này cung cấp cho bạn những lời giải chi tiết cho các bài tập không gian vecto con từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn hiểu sâu hơn về chủ đề này.
Hiểu rõ định nghĩa không gian vecto con là bước đầu tiên để giải bài tập. Một tập con W của không gian vecto V được gọi là không gian vecto con của V nếu W cũng là một không gian vecto dưới cùng các phép toán cộng và nhân với số vô hướng được định nghĩa trên V. Điều này có nghĩa là W phải thỏa mãn ba điều kiện: chứa vecto không, đóng dưới phép cộng và đóng dưới phép nhân với số vô hướng. bài tập phương trình mặt phẳng có lời giải
Kiểm tra xem một tập hợp có phải là không gian vecto con hay không
Để kiểm tra xem một tập hợp có phải là không gian vecto con hay không, ta cần xác minh ba điều kiện đã nêu trên. Ví dụ, xét tập W = {(x, y) | x + y = 0} trong không gian vecto R².
- Chứa vecto không: (0, 0) thuộc W vì 0 + 0 = 0.
- Đóng dưới phép cộng: Nếu (x₁, y₁) và (x₂, y₂) thuộc W, thì x₁ + y₁ = 0 và x₂ + y₂ = 0. Cộng hai phương trình này, ta được (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = 0. Do đó, (x₁ + x₂, y₁ + y₂) thuộc W.
- Đóng dưới phép nhân với số vô hướng: Nếu (x, y) thuộc W và k là một số thực, thì x + y = 0. Nhân cả hai vế với k, ta được kx + ky = 0. Do đó, (kx, ky) thuộc W.
Vậy W là một không gian vecto con của R².
Bài tập không gian vecto con có lời giải chi tiết
Xác định cơ sở và chiều của không gian vecto con
Cho không gian vecto con W = {(x, y, z) | x – y + z = 0} của R³. Hãy tìm một cơ sở và chiều của W.
Lời giải:
Từ phương trình x – y + z = 0, ta có x = y – z. Vậy, một vecto bất kỳ trong W có dạng (y – z, y, z) = y(1, 1, 0) + z(-1, 0, 1). Do đó, {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)} là một hệ sinh của W. Hệ này cũng độc lập tuyến tính, nên nó là một cơ sở của W. Vậy, chiều của W là 2. giải bài tập 7 trang 78 sgk vật lý 11
Bài toán về giao và hợp của không gian vecto con
Cho U và V là hai không gian vecto con của Rⁿ. Chứng minh rằng U ∩ V cũng là một không gian vecto con của Rⁿ.
Lời giải:
Ta cần kiểm tra ba điều kiện:
- Chứa vecto không: Vì U và V đều là không gian vecto con, nên chúng đều chứa vecto không. Do đó, U ∩ V cũng chứa vecto không.
- Đóng dưới phép cộng: Nếu x, y ∈ U ∩ V, thì x, y ∈ U và x, y ∈ V. Vì U và V là không gian vecto con, nên x + y ∈ U và x + y ∈ V. Do đó, x + y ∈ U ∩ V.
- Đóng dưới phép nhân với số vô hướng: Nếu x ∈ U ∩ V và k là một số thực, thì x ∈ U và x ∈ V. Vì U và V là không gian vecto con, nên kx ∈ U và kx ∈ V. Do đó, kx ∈ U ∩ V.
Vậy, U ∩ V là một không gian vecto con của Rⁿ.
Kết luận
Bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và Bài Tập Không Gian Vecto Con Có Lời Giải chi tiết. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về không gian vecto con. cách giải bài tập đại số tuyến tính
FAQ
- Không gian vecto con là gì?
- Làm thế nào để kiểm tra xem một tập hợp có phải là không gian vecto con hay không?
- Cơ sở của một không gian vecto con là gì?
- Chiều của một không gian vecto con là gì?
- Giao của hai không gian vecto con có phải là không gian vecto con không?
- Hợp của hai không gian vecto con có phải là không gian vecto con không?
- Ứng dụng của không gian vecto con trong thực tế là gì?
Gợi ý các câu hỏi khác, bài viết khác có trong web
Bạn có thể tìm hiểu thêm về bài 8.7 sbt vật lý 11 giải chi tiết hoặc giải bài 2 toán 10 trang 94.
Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ
Email: Contact@badaovl.us, địa chỉ: Tòa nhà Etown Central, 11 Đoàn Văn Bơ, Quận 4, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam.. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.
